线性代数：关于特征值与相似标准形。(特征值相似)-冷知识百科

今天冷知识百科网小编项寒痕给各位分享相似标准形是什么的知识，其中也会对线性代数：关于特征值与相似标准形。(特征值相似)相关问题进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在我们开始吧！

线性代数：关于特征值与相似标准形。

因为A的特征多项式为f(x)=(x-1)(x-2)(x-3), 所以三阶矩阵A存在三个不同特征值, 因而其必相似于对角阵diag(1,2,3) (主对角线上元素分别为1,2,3的对角阵), 其为A的相似标准形.

关于相似对角化，标准型，规范型的问题

线性代数：关于特征值与相似标准形。

1、n×n矩阵A可对角化的充要条件为：A存在n个线性无关的特征向量
另一个充要条件为：A的最小多项式无重根
将A对角化的过程如下：
①求矩阵A的特征值(a1,...ar)与对应的特征向量组(η11,...η1s1;...;ηr1,...,ηrsr)（其中ηij为对应于第i个特征值ai的特征向量，每个特征值ai对应的特征向量有si个），若A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量，可构成线性空间的一组基，
②求由标准基到特征向量组的过度矩阵记为P，即(η11,...η1s1;...;ηr1,...,ηrsr)=(e1,...,en)P（其中，ei为仅有第i位为1，其余各项均为0的n为列向量，e1到en构成一组标准基），不难发现，P就是把特征向量组按列排成的矩阵，且可知P可逆（因为由一组基到另一组基的过度矩阵必可逆），
③由A*ηij=ai*ηij，我们有：
A(η11,...η1s1;...;ηr1,...,ηrsr)=(η11,...η1s1;...;ηr1,...,ηrsr)diag(a1,...a1,...,ar,...ar)（其中ai有si个）
等价于AP=Pdiag(a1,...a1,...,ar,...ar)，
等式两边同时左乘P逆即得：P^(-1)AP=diag(a1,...a1,...,ar,...ar)
由上式可知，所得对角矩阵的元素都为A的特征值。

2、若A为实对称阵，则可以找到这样的正交阵T，使得T'AT=T^(-1)AT=diag(a1,...a1,...,ar,...ar)
具体地，对1中提到的特征向量组按以下方式进行施密特正交化，可得到一组得到标准正交基，将前列排布构成新的矩阵T即为所求。
{正交化方法如下：
不同于普通意义的正交化，我们这里要做的是对每个特征值对应的一小组特征向量分别进行施密特正交化。
例如对特征值ai对应的特征向量组（ηi1,ηi2,...,ηisi）进行施密特正交化如下：
先：
βi1=ηi1,
βi2=ηi2-[(ηi2,βi1)/(βi2,βi1)]βi1,
......
βisi=ηisi-[(ηisi,βi1)/(βi1,βi1)]βi1-[(ηisi,βi2)/(βi2,βi2)]βi2-...-[(ηisi,βisi)/(βisi,βisi)]βisi;
然后：
αik=βik/|βik|（k=1,2,...,si）}
两种方法算出的结果都是diag(a1,...a1,...,ar,...ar)
对角元都是A的特征值。

3、3.用坐标变换把A化成标准型，这个对角阵的元素不一定是A的特征值，这个对。
因为坐标变换是将二次型化为标准型的一种方式，二次型的标准行不唯一，比如：
若f(x1,x2)经满秩的线性替换化为：y1^2+y2^2；
而令z1=2y1，z2=3y2，仍可得到标准型：4z1^2+9z2^2。

4、本问题在3中已陈述，在此不作赘述。

5、规范型应当用满纸的初等行列变换来化。
所谓规范型，在得到标准型的基础上，再做一次线性替换，让标准型的每一项系数都为1或-1，此处分两步：
第一步：化原对称矩阵为标准型，这一步要经过满秩的初等行列变换，若你想找到这个矩阵到底是什么，那你就这样做：
将A放在上面，E（单位阵）放在下面，排成一个2n行n列的大矩阵，对A从左上到右下进行对称的初等行列变换，进行列变换时E跟着沾了光，在大矩阵中一起变，行变换时E没跟着变。这样当A变成对角阵时，E就变成了你要的那个满秩的线性替换对应的矩阵Q，Q'AQ就是你变化A最后得到的那个标准型对角阵。
第二步：再做一次线性替换，让标准型的每一项系数都为1或-1，这个还用我说吗？。。。

敬请采纳！好好学习，以后有不懂的就问我，我好为人师~祝你学业进步。

线性代数-正交相似标准型

从你的做法看出你的学习中少学了一个定理，我给你补上就好了：
定理：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交。
所以你这里的p1与p2，p1与p3本来就是正交的（不信你自己乘一下就知道了）；所以p1与p2,p3之间就不需要做正交化，只要在p2与p3之间进行正交化就可以了。
如此，你拿p1与p2去做正交化结果β2不就是等于p2的吗。剩下的结论你就应该都明白了吧。

我只能说有了这个定理以后还全部拿来正交化的都是傻瓜，不论是谁编的书。至于硬要拿来全部正交化计算过程中还有疑问的话那一定是与每个计算题的数据相联系了。

线性代数-正交相似标准型

线性代数:求正交相似标准形..感觉这个矩阵特难算...

用对角线上两个分块，每个分块的特征值是1和6
正交相似的标准形就是对角阵，对角线上都是特征值
所求标准形就是diag(1,6,1,6)

线性代数用相似求特征值

这题还有点意思

解: A(α1,α2,α3) = (Aα1,Aα2,Aα3)
= (4α1-4α2+3α3, -6α1-α2+α3, 0)
= (α1,α2,α3)P.
其中 P =
4 -6 0
-4 -1 0
3 1 0

由 α1,α2,α3 线性无关, 所以矩阵(α1,α2,α3)可逆
故 (α1,α2,α3)^-1A(α1,α2,α3) = P.
即A与P相似.
由于相似矩阵有相同的特征值, 求出P的特征值即可.

P-λE| =
4-λ -6 0
-4 -1-λ 0
3 1 -λ
=-λ[(4-λ)(-1-λ)-24]
=-λ[λ^2-3λ-28]
=-λ(λ-7)(λ+4)

所以A的特征值为0,7,-4.